Problema extra para comprensión de cardinalidad

  Al tratar de comprender el tema  de cardinalidad que creo que ayudará al entender totalmente el tema como el siguiente ejemplo: 

 Supongamos que en una reunión hay 40 personas que hablan alguno de los idiomas alemán, español o inglés. Se sabe que 22 hablan alemán, 26 no hablan ingles 30 hablan sólo un idioma, 30 hablan ingles o alemán, 7 hablan inglés pero no hablan español y 17 hablan alemán pero no hablan español. Se desea responde a preguntas como ¿Cuantás personas hablan los tres idiomas?¿Cuántas personas hablan sólo español?¿Cuántas hablan español pero no hablan ingles?

 

Solución:

 

Llamemos A, B y C, respectivamente, a los conjuntos d personas que hablan alemán, español e ingles. A todas las relaciones entre estos conjuntos podemos representarlas en un diagrama de Venn:

 

 

Si formalizamos los datos que aparecen en el ununciado nos quedarán los siguientes datos:

 

Número	Enunciado	Formalización	Cardinalidad	Cantidad
1	Personas en Total	A ∩ B ∩ Cc	#(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VI) +#(VII) =	40
2	Hablan alemán	A ∩ B ∩ Cc	#(I) +#(II) +#(III) +#(V)=	22
3	No hablán ingles	A ∩ Bc ∩ C	#(II) +#(V) +#(VI)=	26
4	Hablan sólo un idioma	Ac ∩ B ∩ C	#(V) +#(VI)+#(VII)=	30
5	Hablan inglés o alemán	A ∩ Bc ∩ Cc	#(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) =	30
6	Hablan ingles pero no español	Ac ∩ B ∩ Cc	#(III) + #(VII) =	7
7	Hablan alemán pero no español	Ac∩ Bc ∩ Cc	#(III) + #(V) =	17

 

¿Cuántas personas hablan sólo español?

 

Responder esto es sencillo. (2) son los que hablan Ingles o Alemán. Si restamos (2) al número total de personas (1) nos queda el número de personas que sólo hablan español.

 

(1)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) + #(VI) #(VII) =40

(2)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30

#(VI)=#(1)-#(2)

#(VI)=10

 

Las personas que sólo hablan en español son 10.

 

¿Cuántas personas hablan los tres idiomas?

 

Para descubrir esta cifra es necesario realizar más operaciones... Observemos el número de personas que hablan sólo un idioma (4)

 

#(4)= #(V) + #(VI) +#(VII) = 30

#(VI)= 10

#(V) + #(VII) = 20

 

Sabemos que 10 personas sólo hablan español. Por tanto, podemos deducir que 20 personas o bien, hablan ingles o bien, hablan alemán.

Ahora vamos a descubrir el número de personas que hablan ingles pero no español y el número de personas que hablan alemán pero no español. Y con este dato, junto a nuestro conocimiento del número de hablantes que sólo hablan ingles o sólo hablan alemán deduciremos los que hablan español y ingles:

 

#(6) +#(7)= 2x#(III) +#(V) + #(VII)=24

#(V)+#(VII)=20

2x#(III)=4

#(III)=2

 

Ya sabemos que el número de personas que hablan español y alemán son 4 (#III). Ahora es fácil deducir los que hablan sólo ingles y los que hablan sólo alemán.

 

#(6)= #(III) +#(VII)=7

#(III)=2

#(VII)=5

 

3 personas sólo hablan ingles (#VII).

 

#(7)= #(III) + #(V)=17

#(III)=2

#(V)=15

 

15 son los que hablan alemán.

 

Sabiendo los que no hablan ingles #(2) y los que hablan alemán #(V) y los que hablan sólo español #(VI), podemos deducir aquellos que hablan alemán y español #(II).

#(3)=#(II) + #(V) +#(VI)=26

#(V)= 15

#(VI)= 10

Por tanto, #(II)=1

 

Como sabemos los que hablan alemán #(2), los que hablan alemán y español #(II), los que hablan ingles y alemán #(III) y, por último, los que hablan sólo alemán #(V), podemos deducir definitivamente el número de personas que hablan los tres idiomas.

 

#(2)=#(I)+#(II)+#(III)+#(V)=22

#(II)=1

#(III)=2

#(V)=15

Por tanto, #(I)= 4

 

¿Cuantas personas hablan español pero no ingles?

 

Primero deduciremos el valor de #(IV) mediante los datos disponibles y mediante #(5):

#(5)= #(I) +#(II) +#(III) +#(IV) +#(V) +#(VII) = 30

#(I)= 4

#(II)= 1

#(III)= 2

#(V) = 15

#(VII)= 5

Por tanto, #(IV)= 3

 

y con este dato deducimos mediante esta operación el número de españoles que no saben ingles:

 

#(IV) + #(VI)=

#(IV)=3

#(VI)=10

15

 

El número de Españoles que no saben ingles es de 15.

Al ver ejercicio resuelto y como se plantea podemos ver como ordenadamente utiliza la tabla y reemplaza los datos para ver las cantidades que debemos de reemplezas al momento de hayar quienes hablan cual idioma. Al momento de realizar la tabla ya mencionada y también reemplazar datos según la pregunta ORDENAMENTE se puede llegar a una solución sensata.